Écrire un entier positif dans une base donnée
- Fiche de cours
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- Comprendre la décomposition dans la base 10.
- Écrire un entier naturel dans une base 2, 10 ou 16.
- On peut exprimer un nombre dans différentes bases, il faut savoir passer de l’une à l’autre.
- Dans la base 10, un nombre s’écrit sous la forme d’une somme de puissances de 10.
- Dans une base ≥ 2, tout nombre
entier
peut s'écrire sous la forme
, avec 
un entier naturel
et 
les des entiers naturels compris
entre 0 et 
.
Puissances d’un nombre
Notre manière d’écrire les nombres, depuis le Moyen Âge, utilise le système décimal positionnel. On utilise les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 pour écrire un nombre et c’est la position du chiffre qui indique ce qu’il représente, c’est-à-dire des unités, des dizaines, etc.
Tableau des unités
Un nombre s’écrit donc sous la forme d’une somme de puissances de 10.
un entier supérieur ou
égal à 2, alors tout nombre
entier 
peut s'écrire sous la
forme suivante.
|
avec :
|
un entier
naturel
des entiers
naturels compris entre 0
et 
On dit que 
est la représentation
de 
dans la base 
.
- En base 10, un nombre peut s’écrire avec des entiers naturels compris entre 0 et 9.
- En base 8, un nombre peut s’écrire avec des entiers naturels compris entre 0 et 7.
- En base 2, un nombre peut s’écrire avec les entiers naturels 0 et 1. On parle alors de bit (provient de l’anglais binary digit).
On peut vérifier avec la calculatrice que la valeur décimale 2019 s’écrit :
On indique en position indicielle la base. On écrit par exemple
.
Dans le cas où = 2 (binaire), on
utilise 0 et 1. On dira alors
que 
est un bit (contraction
anglaise de binary digit).
Dans le nombre 111111000112, les différents 1 et 0 sont des bits.
Dans le cas où = 16
(hexadécimale), on utilise six lettres-chiffres
en plus des ordinaires.
Le tableau ci-dessous donne la correspondance hexadécimal / décimal.
Pour afficher l’écriture d’un nombre dans une base donnée, on utilise la méthode Python suivante.
Python – méthode pour afficher l’écriture dans des bases d’un nombre
On obtient alors le résultat suivant dans la console.
Python – affichage du nombre dans les bases demandées
Les deux premiers caractères indiquent la base : « 0b » pour le binaire, « 0o » pour la base 8 et « 0x » pour la base 16.
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