Equations produits, quotients et du 1er degré
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Comment définir et résoudre une équation du premier degré ? Comment se ramener à une équation du premier degré et la résoudre ? Qu'est ce que le principe de dichotomie pour encadrer une solution ?
Exemples :
a) 3x + 5 = 0 est une équation d’inconnue x ;
b) 4 - 2y = 9y est une équation d’inconnue y ;
c) 2x + 3y = 9z est une équation d’inconnues x, y et z.
Si le degré est 1, l'équation est du 1er degré;
Si le degré est 2, l’équation du 2nd degré …
Exemples :
a) 3x + 5 = 0 est une équation du premier degré ;
b) 2x² + 3x - 5 = 0 est une équation du 2nd degré.
Exemples : Résoudre les équations suivantes :
1)
. La solution de cette équation est
-2.2)
. La solution de cette équation est
1.3)
. La solution de cette équation est
Pour cela on doit regrouper les inconnues d’un côté et les nombres de l’autre.
Exemples :
1) Résoudre 3x + 4 = 5 - 8x
Il s’agit d’une équation du 1er degré à 1 inconnue.
Pour la résoudre, on va regrouper les termes en x du côté gauche et les nombres du côté droit :
|
|
|
|
|
La solution de cette équation est
.2) Résoudre 3(x+2) = 4 + x
Pour pouvoir résoudre cette équation, il va falloir développer le membre de gauche.
Pour résoudre cette équation, on va regrouper les termes en x du côté gauche et les nombres du côté droit :
La solution de cette équation est -1.
Exemple : Résoudre x(x+1) = x² + 3
La solution de cette équation est 3.
l’un des facteurs est nul
Exemples :
1) Résoudre x² = x
Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs au moins est nul.
Les solutions de cette équation sont 0 et 1.
2) Résoudre
On reconnaît une différence de 2 carrés, on peut donc factoriser :
Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs au moins est nul :
Les solutions de cette équation sont
.
La solution de cette équation est - 1.
L’idée consiste à partager l’intervalle où se trouve s en deux intervalles de la même longueur, à choisir dans lequel s se situe, puis à recommencer cela avec ce nouvel intervalle.
Application à la résolution de x² - 3 = 0 sur [0;2].
Soit s une solution (si elle existe) de cette équation sur [0 ;2].
Soit f la fonction définie par f(x) = x² - 3.
On calcule la moyenne des bornes de [0 ;2] :
donc s appartient à [1 ; 2].
On applique de nouveau ce principe :
On calcule la moyenne des bornes de [1 ;2] :
Donc s appartient à [1,5 ; 2].
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