Fonctions dérivables
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• Nombre dérivé, fonction dérivée
• Interprétation graphique : tangente
• Interprétation numérique : approximation affine
• Écriture différentielle
• Dérivabilité et continuité
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soient a et x deux éléments de I. "f est dérivable en a" signifie que le taux de variation de f en a admet une limite L en a.
Ainsi, on peut écrire :
La limite L est notée f'(a) et s'appelle le nombre dérivé de f en a.
"f est dérivable sur I" signifie que f est dérivable en tout élément x de I. La fonction dérivée de f sur I, notée f', est la fonction qui à tout x
I fait correspondre f'(x).
Exemples :
Soit la fonction f définie sur
Lorsque f est dérivable en a, la courbe représentative de f admet au point A d'abscisse a, une tangente de coefficient directeur f'(a).
Une équation de cette tangente, droite passant par le point A(a,f(a)) et de coefficient directeur f'(a) est donné par :
Exemple :
Soit la fonction f définie sur
et
soit H sa courbe représentative (hyperbole).f est dérivable sur
et sa
fonction dérivée est f'(x) = 
On a f'(0,5) = - 4. Une équation de la tangente au point A (0,5 ; 2) à la courbe H est :
.Ou encore,
.Si x est proche de a,
.f(a) + f '(a)(x-a) est une approximation affine de f(a) pour x proche de a.
Exemple :
Soit la fonction f définie sur
.
.► En physique, on note :
.► On exprime cela symboliquement par la notation différentielle :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un élément de I.
Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.
Attention, la réciproque est fausse.
Démonstration :
Si f est dérivable en a,
.On en déduit que
.Donc,
.
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