Fonctions réciproques et aspects graphiques
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- Déterminer une fonction réciproque.
- Reconnaitre graphiquement deux fonctions réciproques.
- Soit f une fonction définie, continue et strictement monotone sur un intervalle I et à valeurs dans un intervalle J. La fonction y ↦ x, définie sur J, s’appelle la fonction réciproque de la fonction f. On la note f –1.
- Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonctions f et f –1 sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
- Les fonctions carré et racine carrée sont
des fonctions réciproques.
équivaut à
.
- Les fonctions exponentielle et logarithme
népérien sont des fonctions
réciproques.
équivaut à
.
- Étudier la continuité d’une fonction.
- Connaitre le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue et strictement monotone.
- Connaitre les fonctions usuelles : carré, racine carrée, logarithme népérien et exponentielle.
D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel
, il existe un unique
réel 
tel que f (x) = y.La fonction y ↦ x, définie sur J, s’appelle la fonction réciproque de la fonction f. On la note f –1.
équivaut à
.
Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonctions f et f –1 sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
On considère la fonction carré sur
.
Cette fonction prend ses valeurs dans l’intervalle
car, pour tout
réel x, on a 
.
f est
continue, strictement croissante sur .
Donc la fonction f admet une fonction
réciproque, notée f –1, qui est la
fonction racine carrée.
Pour tout 
, il existe un unique
tel que y = f (x).
On a 
.
Les fonctions carré et racine carrée sont des fonctions réciproques.
équivaut à
.
Les courbes représentatives des fonctions
carré et racine carrée sont
symétriques par rapport à la droite
d’équation y = x sur .
On considère la fonction exponentielle
définie sur 
.
Cette fonction prend ses valeurs dans l’intervalle
car, pour tout
réel x, on a 
.
f est continue
et strictement croissante sur 
.
Donc la fonction f admet une fonction
réciproque, notée f –1, qui est la
fonction logarithme népérien.
Pour tout 
, il existe un unique
tel que y = f (x).
On a 
.
Les fonctions exponentielle et logarithme népérien sont des fonctions réciproques.
équivaut à
.
Les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
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