La somme des termes d'une suite géométrique
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Connaitre la formule de la somme des n + 1 premières puissances d'un nombre et l'utiliser.
- Calculer la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique, directement ou non.
- Calculer la limite de cette somme.
- Soit n un
nombre entier naturel et q un réel positif ou
nul. La somme des n + 1 premières
puissances de q est :
1 + q + ... + qn =
où
q ≠ 1.
- La somme des
n + 1 premiers termes
u0 + … +
un d’une suite
géométrique de raison q est :
Sn = u0 ×
.
- Si 0 < q < 1,
la limite de cette somme quand n tend vers +∞ est
.
- Connaitre la notion de suite.
- Savoir ce qu'est une suite géométrique.
- Calculer le terme général d'une suite.
- Calculer les puissances d'un nombre.
La suite définie par un+1 = 2un avec u0 = 1 est une suite géométrique de raison 2.
Les premiers termes de cette suite sont 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16…
Dire qu'une suite de termes non nuls est
géométrique signifie que le
quotient 
de deux termes consécutifs
quelconques est constant, quel que soit n.
Le terme général d'une suite géométrique (un) peut s'exprimer directement en fonction de n avec un = u0qn ou un = upqn–p quel que soit p, entier naturel.
Il est ainsi possible, connaissant u0 (ou up) et q, de calculer n’importe quel terme de la suite.
Pour une suite géométrique de raison –0,3 et de premier terme u0 = 7, on peut écrire un = u0 × (–0,3)n et ainsi connaitre directement la valeur de n'importe quel terme de la suite.
Par exemple, u4 = 7 × (–0,3)4 = 7 × 0,0081 = 0,0567.
Soit q un réel et n un entier naturel. On a :
S = 1 + q + q2 + … + qn =
pour q ≠ 1.
Pour q = 1, cette somme vaut simplement
.
S = 1 + q + q2 +
q3 + ... +
qn
En
multipliant S par q on obtient :
qS
= q +
q2 + q3 + … +
qn+1.
Soustrayons membre à membre ces deux
inégalités :
S – qS = (1 + q +
q2 + q3 + ... +
qn) – (q +
q2 + q3 + ... +
qn +
qn+1)
Dans le membre de droite, q, q2, q3, …, qn s'éliminent.
Ainsi, il reste S(1 – q) = 1 – qn+1.
En divisant par 1 – q, pour q ≠ 1, on obtient
.
On retiendra que n + 1 est le nombre de termes dans la somme S.
La somme des 10 premières puissances de 2 est :
S = 1 + 2 + 22 + … + 29 =
= 210 – 1 = 1023.
On considère la suite géométrique (un) de raison 1,2 et de premier terme u0 = –4.
Calculons la somme S = u3 + u4 + … + u15.
L'expression de un en fonction de n est un = u0 × qn = –4 × (1,2)n.
Ainsi, la somme S s'écrit
S = –4 ×
(1,2)3 – 4 × (1,2)4
… – 4 ×
(1,2)15
et, en factorisant par –4 × (1,2)3 ,
on obtient :
S = –4 × (1,2)3 [1 + 1,2 + … + (1,2)12]
En utilisant la formule 1 + q + q2 + q3 + …
+ qn = on obtient
:
Sn = u0 + … +
un =
u0 × 
Spn = up + … +
un =
up × 
On peut bien sûr retenir ces formules, mais on les retrouve rapidement en combinant le terme général d'une suite géométrique et la somme des premières puissances de la raison q.
Soit (un) une suite géométrique de raison 2 et de premier terme u0 =
.On va écrire Sn = u0 + u1 + u2 + … + un en fonction de n.
Sn = u0 + u1 + u2 + … + un
Sn = u0 ×
Sn =
× 
Sn = 
Sn = 
Sn = 
Sn =
2n – 0,5
Soit (un) une suite et n et p deux entiers naturels.
Soit S = up + up+1 + … + un une somme de termes consécutifs d’une suite.
Le nombre de termes de cette somme est n – p + 1.
Le premier terme de cette somme est up.
Si cette suite est géométrique de raison q, alors on peut mémoriser cette somme par :
Soit (un) une suite géométrique de raison 4 telle que u5 = 1.
Alors S = u5 + u6 + … + u12.
S = 1er terme ×
Or 1er
terme =
u5 = 1 ; raison = 4 ;
nombre de termes de S = n – p + 1 = 12 – 5 + 1 = 8.
S
= 1
× 
= 21 845
Soit (un) une suite
géométrique de raison q et de premier terme
u0 .
Sn =
u0 + u1 + u2 + … + un
Sn =
u0 ×
Sn = 
Sn = 
Or
un =
u0qn
Donc Sn = 
Autrement dit, Sn = 
.
On va calculer S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128.
On reconnait une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique de 1er terme 1 et de raison 2.
Donc S =
= 255.
Soit (un) une suite géométrique de raison q telle 0 < q < 1 et Sn = u0 + u1 + … + un.
Sn = u0 × 
.
Soit (un) une suite
géométrique de raison q telle
0 < q < 1
et Sn = u0 + u1 + … + un.
Sn = u0
× 
Or 
qn+1 = 0.
Donc Sn = u0 × .
Calculons la limite quand n tend vers +∞ de S = 1 + 0,3 + 0,32 + 0,33 + … + 0,3n.
Ici, on a une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique de raison 0,3 et de premier terme 1.
Donc
S = 1 × 
= 
= 
.
Évalue ce cours !
Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.
Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer
Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !
Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.
Des quiz pour une évaluation en direct
Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.
myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.
Des vidéos et des podcasts pour apprendre différemment
Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.
Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !
Des podcasts pour les révisions
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.
Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.
Des vidéos de cours pour comprendre en image
Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !
Fiches de cours les plus recherchées
Mathématiques complémentaires
Fermer