Vecteurs coplanaires et décomposition d'un vecteur
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Savoir définir des vecteurs coplanaires.
- Savoir décomposer un vecteur en somme de 3 vecteurs non coplanaires.
- Les vecteurs
, 
et 
sont coplanaires
(c'est-à-dire appartiennent à un même
plan) s'il existe 4 points O, A, B, C d'un même plan tels que
O est un point
quelconque et que les points A, B et C définis par :
, 
et 
.
- Soit , et trois vecteurs de l'espace, avec
et 
non colinéaires.
, et sont coplanaires 
il existe des réels
a et
b tels que
.
- Soit
, 
et 
trois vecteurs non coplanaires de
l'espace. Pour tout vecteur 
, il existe un unique triplet de
réels (a ; b ; c) tel que 
.
- Connaitre la notion de vecteur.
- Calculer un vecteur multiplié par un réel.
, et sont coplanaires
(c'est-à-dire appartiennent à un même
plan) s'il existe 4 points O, A, B, C d'un même plan tels que
O est un point
quelconque et que les points A, B et C définis par :
, et .
Vecteurs
, et coplanaires
Soit
, et trois vecteurs de l'espace, avec
et non colinéaires., et sont coplanaires il existe des réels
a et
b tels que
.
Appliquons la définition ci-dessus.
Soit O un point de
l'espace et A,
B et C les points définis par
, et .
La condition de non colinéarité indique que
les vecteurs 
et 
sont des vecteurs directeurs du
plan P contenant les
points O,
A, B.
, et coplanaires 
le point C appartient au plan P.
il existe des réels
a et
b tels que
.
il existe des réels
a et
b tels que
.
On dit que l'on a décomposé le vecteur
en fonction des vecteurs
et 
.
Soit
, et trois vecteurs non coplanaires de
l'espace. Pour tout vecteur , il existe un unique triplet de
réels (a ; b ; c) tel que .
Existence
On prend un point O de l'espace, puis on
définit les points A, B, C et M par 
, 
, 
et 
.
Les vecteurs , et sont non coplanaires, les points
O, A et B définissent donc un plan
P et la la droite
(OC) coupe ce plan
en O.
La parallèle à (OC) passant par M coupe ce plan
en M', il existe
donc des réels a et b tels que 
. Or 
et 
sont colinéaires, il
existe donc un réel c tel que 
.
On a donc 
.
Unicité du triplet
On va supposer qu'il existe des triplets (a, b, c) et (d, e, f) de réels tels
que 
.
Si a ≠ d,
on a 
donc d'après la
définition, les 3 vecteurs seraient
coplanaires, ce qui est impossible. Donc a = d.
On montre de la même manière que b = e et que c = f.
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